יליד וינה. למד משפטים ומדעי המדינה באוניברסיטת וינה. בשנת 1919 קיבל תואר דוקטור למשפטים וב- 1926 – תואר דוקטור לפילוסופיה. בשנים 1922 – 1938 היה מרצה לפילוסופיה של המשפט באוניברסיטת וינה.
בשנת 1938, בעקבות סיפוחה של אוסטריה אל גרמניה הנאצית, עזב קאופמן את וינה והיגר לארצות הברית. עד מותו היה חבר בבית הספר החדש למדעי החברה של ניו יורק.
הוא התמחה בתיאוריה של ידע, בלוגיקה, בפילוסופיה, במתימטיקה ובמשפט. כנציגו של זרם ה"ריינה רכטסלרה" באסכולת מרבורג בקרב הניאו קאנטיאנים, עבד בעיקר על רעיונותיו של האנס קלסן שהתבססו על פנומנולוגיה. קאופמן הושפע רבות גם ממוריץ שליק, מראשי החוג הוינאי ומחסידי הניאו פוזיטיביזם. קאופמן עצמו היה מעורב בדיונים הראשונים של החוג הוינאי, אולם מעולם לא אימץ בקפידה את העקרונות הראשיים של פוזיטיביזם לוגי. מעייניו היו נתונים לצורך להבדיל בין המתודולוגיה של מדעי החברה לבין זו של המדעים המדוייקים. הוא האמין כי החוקים, היישומים והיעדים שאימצו להם מדעני החברה שונים מאלה של המדעים המדוייקים, בעיקר משום שהם נועדו להבהרת מידע ולא לרכישתו.
מאמרו הנודע בנושא זה הוא "המתודולוגיה של מדעי החברה" (במקור נכתב בגרמנית בשנת 1936 ותורגם לאנגלית ב- 1944.)
מאמרים נוספים: " Logic und Rechtswissenschaft" (טויבינגן 1922); " Die Kriterien des Rechts" (טויבינגן 1924, מהדורה שנייה 1966); "Die phylosophischen Grundprobleme der Lehre von der Strafrechtsschuld" (וינה 1929); " Das unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung" (וינה 1930, מהדורה שנייה 1968).