נולד בברנו, מוראביה, ביולי 1880, סיים תיכון, וב- 1899 עבר לווינה ללמוד משפטים. במקביל למד גם ספרות. אחרי שסיים את הלימודים החליט לזנוח את העיסוק המשפטי ולעבוד בתיאטרון. הוא החל לכתוב ליבריות לאופרטה בשנת 1903, שיחק בתפקידים קטנים בכמה תיאטראות. עד 1906 הספיק להתקדם לתאטרון קברט ולהיות מנחה ב"זוטריין" בווינה. הוא עבד גם בכמה בתי תאטרון של תאטרון ברלין, בניהולו של רודולף נלסון, אשר הכיר בכשרונו. בשנת 1910 שימש כמנחה ב? ב? וב? של נלסון, בווינה. כשפרצה מלחמת העולם הראשונה התנדב גרינבאום לצבא הוא קיבל דרגת סגן וציונים לשבח. אחרי המלחמה שב להופעות הקברט ועבד בווינה ובברלין, במקומות כגון הסימפל והרונשר. בשנת 1916 נשא לאשה את לילי הרצל, שהצטרפה לעבודתו בקברטים. בשנים 1920 – 1933 כתב לקברט, עבד כמנחה, בעיקר בברלין ובווינה, במקומות שנועדו לאינקלקטואלים ולאנשי ספרות. הוא שיחק בסרטים והתחיל לכתוב תסריטים. יחד עם פאול מורגן וקארל פרקש פיתח פורמט של שני מנחים. זמן מה שימש כמנהל הסימפל.
בשנת 1933 התיישב בווינה. הוא הרבה לתת הופעות אורח במקומות רבים, כולל פראג. בשנים 1934 – 1938 היה סגן מנהל הסימפל יחד עם פרקש. אחרי כיבוש אוסטריה על ידי הנאצים במאי 1938 ניסו גרינבאום ואשתו להבריח את הגבול לצ'כוסלובקיה, אך לא הצליחו. הנאצים עצרו את גרינבאום בווינה ושלחו אותו למחנה הריכוז דכאו. בספטמבר 1938 העבירוהו לבוכנוואלד, שם ערך מופע קברט יחד עם פאול מורגן והרמן לאופולדי כדי לבדר את חבריו האסירים.
באוקטובר 1940 נשלח חזרה לדכאו ושם נספה. על פי כמה מסמכים הייתה סיבת מותו, ב- 14 בינואר 1941, "שיתוק לב".