יליד וינה, בנם של הרמן באר, עורך דין יהודי ממורביה, ואם שמתה בלדתה אותו. אומץ על ידי דודו אחי-אמו, הרמן הופמן, תעשיין מווינה, ובשנת 1884 הוסיף את שם אביו המאמץ לשמו. בצעירותו שירת בצבא האוסטרו-הונגרי בדרגת סגן.
באר-הופמן קיבל תואר דוקטור לתורת המשפט מאוניברסיטת וינה ב- 1890, אך לא עסק במקצוע. הוא ביים כמה מחזות: ב- 1928 ביים את "איפיגניה" של גתה ב"תיאטר אן דר יוזפשטאט" בווינה, בפסטיבל זלצבורג ב- 1930 וב"דויטשה תיאטר" בברלין. באותה שנה ביים גירסה שכתב לפאוסט I ו II של גתה, ב"בורגתיאטר" בווינה.
באר-הופמן הצטרף לחוג הסופרים "וינה הצעירה", ויחד עם ידידיו ארתור שניצלר, פיטר אלטנברג, פליקס דורמן, פליקס זלטן, הוגו פון הופמנשטאל ואמנים אחרים, הרבו לפקוד את קפה גרינשטאדל ולדון באמנות, בדת, ובפוליטיקה. גם עם תיאודור הרצל היה בקשרי ידידות. את סיפורו הראשון פרסם באר-הופמן בשנת 1891, ואחר כך פרסם נובלה ידועה יותר, Das Kind (1893) . שירו הידוע ביותר, "שיר ערש למרים", נכתב לבתו הבכורה מרים.
הוא הסתייג מהמוטיבים האגוצנטריים, רודפי העונג והתהילה של עמיתיו, וביקש למצוא משמעות ביהדותו. דוגמא לרגשות אלה היא הנובלה "מותו של גיאורג" ( 1900). הגיבור רודף התענוגות מפנה עורף לאורח חיים מרוכז בעצמו, מגלה מחדש את עצמו כיהודי, ומצטרף למאבק עמו למען הצדק. מחזהו הראשון של באר-הופמן "הגראף פון קרלו" (1904) ושירו "הגיל" ( 1907) משקפים את החשיבות שייחס לאחדות המסורת שקושרת את היחיד לעברו ולאבותיו. טרילוגיית המחזות "חלום יעקב" (1918), "דוד הצעיר" ( 1918) ו"תיאטרון המלך דוד" (1936), שממנה השלים רק חלק קטן, מבוססת על נושאים תנ"כיים.
במחזותיו שוטח באר-הופמן את אמונתו כי היחיד, כל אדם, חשוב רק במידה שרווחתו תורמת לרווחת האנושות באופן כללי.
לבאר-הופמן הוענקו פרסים אלה:Volks-Schillerpreis, Goethe Bund בברלין ב- 1905 ופרס ריימונד בווינה ב 1921.
ב- 1936 ביקר בארץ ישראל וכששב אל וינה מן הביקור, חידש את העבודה על הטרילוגיה.
באוגוסט 1939 נמלט מהשלטון הנאצי אל שווייץ, ושם מתה עליו אשתו פאולה. בנובמבר אותה שנה היגר לארצות הברית וחי בניו יורק עם בנותיו וחתנו, ארנסט לנס. הוא הוזמן להיות מרצה באוניברסיטאות הארוורד, ייל, קולומביה וסמית' קולג'. "שירה" שלו (1941) מכיל את כל השירים שביקש להשאיר אחריו. בשיר "פאולה" שפורסם אחרי מותו, מחווה לאשתו, יש גם כמה אלמנטים אוטוביוגרפיים, והאווירה הקודרת באוסטריה באה בו לביטוי, אווירה שהשפיעה על חייו ואישיותו.
אחרי מלחמת העולם השנייה, השיב ה"בורגתיאטר" בווינה את "חלום יעקב" לרפרטואר הקבוע. האקדמיה האמריקנית לאמנויות וכתבים העניקה פרס על שמו. גם מצד המוסדות היהודיים קיבל הערכה רבה. בחוגים היהודים נחשב באר-הופמן לסמל לכבוד יהודי, משום שבעודו באוסטריה הציב מגן דוד מעל לפתח ביתו, וסימל בכך כי גורל היהודים גורלו. קרן היסוד הנפיקה בול זיכרון על שמו, ואגודת הפרסומים היהודית הוציאה תרגום לאנגלית של "חלום יעקב". תיאטרון הבימה העלה את המחזה בעברית במוסקבה, בתל אביב ובניו יורק.
ריכרד באר-הופמן נפטר בניו יורק בשנת 1945.