מעמודי התווך של תאטרון היידיש.
נולד בקרקוב, פולין. אביו היה סוחר אמיד. כמו רוב היהודים בפולין באותה תקופה, היידיש היתה לשונו, ממש כמו הפולנית. לימים היתה היידיש לנכס חשוב, כשהרחיב אייזנבאך את קריירת המשחק שלו והצטרף לתאטרון היידיש שהלך וצמח בווינה.
את דרכו בתאטרון החל בבודפשט כליצן. אחר שילב גם את כשרונו המוזיקלי ונהיה לזמר קומי. בשנת 1894 הצטרף ל"בודפשטר אורפאומגשלשאפט", להקת תאטרון קטנה בשכונה היהודית בווינה שנוסדה בשנת 1889 על ידי יוזף מודל, הגב' וירטמברג, הגב' קובץ, מקס רוט, ארמין שפרינגר, הנס מוזר, רולף וגנר ואחרים – הגרעין הראשון של הקברט היהודי של וינה. איינזבאך הופיע יום יום, בשירים קומיים קצרים ובקטעי ריקוד עם אשתו אנה. כשעלה לבמה קיבל אותו הקהל – בעיקר יהודים ממעמד הפועלים – בתשואות. הוא גילם דמויות בעלות רצון ונחישות לחיות. במערכונים הפך את גורלם העצוב ללגלוג עצמי, בדיחות ציניות, ביידיש ז'רגונית שקנראה יידיין. חומרים אלה לא זכו להערכה מצד קהל יהודי בורגני יותר, שראה ביידיש לשון של המעמד הנמוך.
ההופעות בבודפשטר נפתחו בדרך כלל בתהלוכת שירים הומוריסטים ובמערכה אחת שחיבר אחד מחברי הלהקה. שיא הערב הגיע אחרי ההפסקה, בהופעת יחיד של אייזנבאך או של עמיתו וידידו הקרוב, מקס רוט. הופעתו המעולה של אייזנבאך ב"די קלבריאשפרטי", מערכה אחת מאת אדולף ברגמן, שתיארה את מאבקם של רוכלים וקבצנים יהודים, הפכה אותו לשחקן הראשי, ואחר למחזאי ולבמאי הבודפשטר. בשנת 1907 יסד קבוצה משלו והופיע במלון סטפני, אבל כעבור שנה חזר לבודפשטר והמשיך לשחק, לביים ולכתוב.
בשנת 1911 כתב המו"ל והסופר קארל קראוס כי הבידור התאטרוני האמיתי מתרחש בבודפשטר דווקא, ולא בהופבורגתאטר היוקרתי בווינה.
היינריך אייזנבאך נפטר בווינה בשנת 1923.