באואר היה מנהיג סוציאליסטי ושר החוץ הראשון של הרפובליקה האוסטרית (1918 – 1919).
בנו של תעשיין, הצטרף לתנועה הסוציאליסטית והשתתף בייסוד הירחון הסוציאליסטי "דר קמפף" ב- 1907, שהיה במה לרעיונות סוציאליסטיים. כאינטלקטואל למד וכתב בנושאים סוציאליסטיים כמו לאומיות. ניסח נוסח חדש למושג הלאום, "סך האנשים מאוחדים מקהילת גורל אל קהילת אפיון".
באואר תמך במתן אוטונומיה תרבותית לקבוצות לאומיות באימפריה (ובכלל זה היהודים, שמילאו תפקיד מכריע בהיסטוריה ובכל זאת לא יכלו, לפי השקפתו, להיות אומה נפרדת). השקפותיו על ההתבוללות לא נתקבלו על דעת הציונים, אשר לא אהדו אותו.
אחרי מלחמת העולם הראשונה נתמנה באואר לשר החוץ של הרפובליקה החדשה, אבל כעבור שנה התפטר משום שרעיונותיו על מיזוג אל גרמניה נחלו כישלון. כשעלה דולפוס לשלטון (1934) סייע באואר במאבקם של הפועלים בווינה נגד הממשלה, ואחרי שנפלה נמלט לצ'כוסלובקיה.
במאי 1938, בעקבות סיפוחה של אוסטריה אל גרמניה הנאצית בחודש מרץ, נמלט אל פריז, ושם פרסם ב"לונדון ניוז כרוניקל" פנייה למצפון העולמי להצלת שלוש מאות יהודים מקרב הגרמנים באוסטריה. הוא נפטר ביום שבו פנייתו נתפרסמה.
באואר הרבה לכתוב ולפרסם ספרים ומאמרים רבים בעניינים סוציאליסטיים.